Ôn thi toán cao cấp F1: học giải tích từ con số 0

Giả sử bài kiểm tra giữa kỳ có câu: tính giới hạn của (sin x)/x khi x tiến về 0. Bạn nhớ mang máng đáp số bằng 1, viết ra, rồi bị trừ nửa điểm vì không giải thích được tại sao. Câu sau hỏi đạo hàm của hàm hợp ba lớp, bạn làm được hai lớp rồi quên lớp thứ ba. Ra khỏi phòng thi, bạn nhận ra mình không hổng một chỗ nào cụ thể. Bạn hổng cái cách nghĩ.

Chuyện này rất thường gặp với sinh viên chưa từng học giải tích. Bài này nói về cách ôn thi toán cao cấp F1 (phần giải tích hàm một biến) cho người bắt đầu từ con số 0: học theo thứ tự nào, lỗi nào hay làm mất điểm, một tuần nên làm bao nhiêu bài. Phần cuối mới nói tới tài liệu mình đang bán, và nói luôn cả những thứ nó không làm được.

Vì sao môn này làm nhiều người choáng ngay mấy tuần đầu

Ở phổ thông, bạn quen với bài toán có một đáp số đẹp. Giải tích thì khác. Nó bắt bạn tin vào những thứ "tiến gần tới" chứ không "bằng", và mọi thứ sau đó đều dựng trên niềm tin ấy. Giới hạn là nền. Đạo hàm là giới hạn của một tỉ số. Tích phân là giới hạn của một tổng. Nếu nền lung lay, mỗi chương sau chỉ còn là một đống công thức rời rạc để nhớ.

Điều khó chịu thứ hai: khối lượng. Một học phần F1 thường nén cả chuỗi từ hàm số đến ứng dụng tích phân vào một học kỳ. Giảng viên đi nhanh vì còn phải kịp chương trình, và bạn thì vừa chưa quen cách viết lập luận toán vừa phải tính toán đại số không sai dấu. Sai một dấu trừ ở dòng đầu, cả bài đi tong, dù bạn hiểu bản chất.

Nên việc đầu tiên không phải là tìm thêm công thức. Hãy chấp nhận rằng ba tuần đầu sẽ chậm và hơi tức, rồi dùng ba tuần đó để làm chắc giới hạn và đạo hàm.

Giới hạn: chỗ dễ gãy đầu tiên

Nhiều người học giới hạn bằng cách học thuộc bảng: sin x/x → 1, (1 + 1/x)^x → e, (e^x − 1)/x → 1. Thuộc thì đủ cho vài câu trắc nghiệm, nhưng đề tự luận hay đổi hình thức một chút là đứng hình.

Ví dụ giả định. Đề cho giới hạn khi x → 0 của (e^(3x) − 1)/x. Người thuộc bảng sẽ khựng vì bảng ghi (e^x − 1)/x chứ không có số 3. Người hiểu chỉ cần viết (e^(3x) − 1)/x = 3 · (e^(3x) − 1)/(3x), đặt t = 3x, ra đáp số 3. Cùng một ý, khác bề ngoài. Học giới hạn là học cách "ép" biểu thức về dạng đã biết.

Một lỗi khác: áp quy tắc L'Hôpital ở những chỗ không được phép. Xét giới hạn của (x + 1)/(x + 2) khi x → 0. Tử bằng 1, mẫu bằng 2, đáp số là 1/2. Nếu bạn đạo hàm cả tử lẫn mẫu theo phản xạ, bạn được 1/1 = 1, sai ngay. L'Hôpital chỉ dùng khi ra dạng 0/0 hoặc ∞/∞. Câu này nghe hiển nhiên, nhưng trong phòng thi, khi đồng hồ chạy, nhiều người vẫn quên kiểm tra điều kiện.

Đạo hàm: học quy tắc dây chuyền bằng tay, không bằng mắt

Đạo hàm của các hàm cơ bản chỉ cần nhớ. Phần thật sự tách điểm giỏi và điểm trung bình là quy tắc dây chuyền, vì gần như mọi hàm trong đề đều là hàm hợp.

Lấy y = sin(e^(x²)). Có ba lớp: sin ở ngoài, e mũ ở giữa, x² ở trong. Đạo hàm là cos(e^(x²)) · e^(x²) · 2x. Cách học hiệu quả là bóc từng lớp từ ngoài vào trong và viết ra từng bước, đừng nhẩm. Trong tuần ôn đạo hàm, mình khuyên làm tay khoảng 25 hàm hợp, mỗi hàm viết rõ "lớp ngoài, lớp trong". Làm 25 bài như thế mất chừng ba tiếng, và sau đó bạn sẽ dễ nhận ra lớp trong hơn.

Đạo hàm cũng không chỉ để tính. Phần "đạo hàm trong thực tế" nói về tốc độ thay đổi và xấp xỉ. Một ví dụ nhỏ: muốn tính gần đúng √4,1 mà không có máy tính, lấy f(x) = √x quanh x = 4. Có f(4) = 2, f'(4) = 1/(2·2) = 1/4. Xấp xỉ tuyến tính cho √4,1 ≈ 2 + 0,1 · 1/4 = 2,025. Giá trị thật là khoảng 2,02485. Sai lệch dưới 0,0002. Đề thi hay có dạng này vì nó kiểm tra bạn hiểu đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến, chứ không chỉ là một thao tác.

Phương pháp Newton: ví dụ có số để thấy nó chạy

Giải x² − 2 = 0 bằng Newton, bắt đầu từ x₀ = 1. Công thức: x₁ = x₀ − f(x₀)/f'(x₀), với f'(x) = 2x. Ta có x₁ = 1 − (1 − 2)/2 = 1,5. Tiếp theo x₂ = 1,5 − (2,25 − 2)/3 ≈ 1,41667. Căn bậc hai của 2 là khoảng 1,41421, nên sau hai bước đã đúng hai chữ số thập phân. Thêm bước thứ ba, x₃ ≈ 1,414216, khớp tới năm chữ số thập phân. Đáng để tự bấm máy một lần cho thấy nó hội tụ nhanh cỡ nào.

Chỗ khó chịu: Newton có thể thất bại nếu chọn điểm đầu xấu, ví dụ chỗ f'(x) gần 0. Đề thi thường không hỏi sâu vì sao, nhưng nên biết để khỏi bị bất ngờ khi giảng viên hỏi miệng.

Khảo sát hàm số và cực trị: nơi bài toán có chữ "thực tế"

Hai dạng này hay bị học rời nhau, nhưng thực chất chúng cùng một công cụ: xét dấu đạo hàm bậc nhất và bậc hai.

Một bài cực trị điển hình, dạng giả định. Có 120 m hàng rào, muốn rào một khu đất hình chữ nhật dựa vào một bờ sông thẳng (không cần rào phía sông). Gọi chiều rộng vuông góc với bờ là x, chiều dài song song với bờ là y. Hàng rào dùng 2x + y = 120, nên y = 120 − 2x. Diện tích A = x(120 − 2x) = 120x − 2x². Đạo hàm A' = 120 − 4x, bằng 0 khi x = 30. Lúc đó y = 60 và A = 1.800 m². Đạo hàm bậc hai A'' = −4 < 0 nên đó đúng là cực đại.

Nhìn qua thì dễ, nhưng người học hay vấp ở bước đầu: đặt biến và đưa bài toán về một biến. Thiếu bước "dùng điều kiện ràng buộc để khử biến" thì phần đạo hàm phía sau vô nghĩa. Một mẹo ôn tập là cứ làm đúng năm câu hỏi theo thứ tự: đại lượng cần tối ưu là gì, biến nào, ràng buộc nào, miền xác định ra sao, đã thử đầu mút chưa. Câu cuối hay bị quên, và có những bài cực trị nằm ngay ở đầu mút của miền.

Khi khảo sát cả đồ thị, trình tự thường gặp là: tập xác định, giới hạn ở biên và tiệm cận, đạo hàm bậc nhất để tìm đơn điệu và cực trị, đạo hàm bậc hai để tìm lồi lõm và điểm uốn, rồi lập bảng biến thiên và vẽ. Tuần này nên làm ít bài nhưng làm trọn vẹn, mỗi bài đủ cả bảng và hình. Vẽ sai tỉ lệ không sao, bỏ sót tiệm cận mới mất điểm.

Tích phân: định lý cơ bản và cái bẫy ở đổi biến

Khi sang tích phân, nhiều bạn nghĩ đây là phần "ngược lại" của đạo hàm nên chỉ cần nhớ bảng nguyên hàm. Một nửa đúng. Phần còn lại là hiểu vì sao tích phân xác định tính được bằng nguyên hàm: đó chính là định lý cơ bản của giải tích. Hiểu được định lý này thì bạn mới tin được cách làm, và mọi ứng dụng sau đó (diện tích, thể tích, công của lực) bớt thành chuyện học vẹt.

Một bài đổi biến thường gặp: tính tích phân từ 0 đến 1 của 2x · e^(x²) dx. Đặt u = x², du = 2x dx. Khi x = 0 thì u = 0, khi x = 1 thì u = 1. Tích phân thành tích phân của e^u từ 0 đến 1, bằng e − 1 ≈ 1,718. Lỗi hay gặp là đổi biến nhưng quên đổi cận, vẫn giữ cận cũ rồi thay ngược u = x² vào lúc cuối mà không nhất quán. Chọn một cách và làm nhất quán: hoặc đổi cận, hoặc tính nguyên hàm rồi thay lại biến cũ.

Sang phần ứng dụng, hai ví dụ số để bạn kiểm tra mình có làm được không:

Diện tích giữa y = x và y = x² trên đoạn [0, 1]: trên đoạn này đường y = x nằm trên, nên diện tích là tích phân của (x − x²) = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Thể tích khi quay y = √x với x từ 0 đến 4 quanh trục Ox: V = π · tích phân của x dx = π · 4²/2 = 8π ≈ 25,13.

Nếu làm xong hai bài mà không cần nhìn lời giải, phần ứng dụng tích phân của bạn đã khá ổn. Nếu kẹt, hãy xem lại bạn có vẽ hình trước không. Ở dạng này, một lỗi rất hay gặp là xác định sai hàm nào nằm trên.

Kế hoạch ôn sáu tuần cho người chưa từng học giải tích

Giả sử bạn còn khoảng sáu tuần trước kỳ thi và mỗi ngày dành được chừng 1,5 giờ. Đây là cách chia mình thấy hợp lý, chứ không phải khuôn mẫu cứng, nên cứ dịch chuyển theo đề cương của trường.

Có hai nguyên tắc nhỏ đi kèm bảng. Thứ nhất, tuần nào cũng dành một buổi làm lại những bài đã sai ở tuần trước, vì lỗi trong giải tích hiếm khi sai một lần rồi thôi. Thứ hai, hai đề thử cuối nên làm trong đúng thời gian của kỳ thi thật (nhiều trường cho 90 hoặc 120 phút, kiểm tra theo quy định của trường bạn). Làm không giới hạn giờ cho cảm giác dễ chịu, nhưng không cho bạn biết điểm thật của mình.

Tài liệu mình đang bán, và những gì nó không làm được

"Đề cương ôn tập Toán cao cấp F1 — Giải tích hàm một biến — Việt/Anh" là một file PDF song ngữ dài 337 trang, viết cho người chưa từng học giải tích nhưng cần hiểu chắc để thi học phần Toán cao cấp F1 và còn dùng được sau này. Tài liệu chia thành mười chương, đi theo mạch gần giống phần bạn vừa đọc ở trên: hàm số và đồ thị; giới hạn và tính liên tục; đạo hàm và các quy tắc tính; đạo hàm trong thực tế (tốc độ, xấp xỉ, hình dáng đồ thị); bài toán cực trị thực tế; quy tắc L'Hôpital và nguyên hàm; tích phân xác định cùng định lý cơ bản của giải tích; kỹ thuật tính tích phân bằng công thức và đổi biến; ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích, độ dài; và ứng dụng tích phân trong vật lý cùng mô hình mũ. Cuối cùng là phần ôn tập tổng hợp và luyện đề thi.

Trong đó có quy tắc dây chuyền, khảo sát hàm số, phương pháp Newton và xấp xỉ tuyến tính, tức những thứ mình đã lấy ví dụ ở trên.

Giờ là phần không đẹp. Đây là đề cương ôn tập, không phải bài giảng video, nên nếu bạn cần ai đó giảng trực tiếp và trả lời từng thắc mắc thì tài liệu không thay được lớp học hay gia sư. Nó cũng không thay giáo trình của trường: mỗi trường có thể sắp xếp thứ tự chương hoặc chọn ký hiệu hơi khác, nên bạn vẫn phải đối chiếu với đề cương môn học của mình. Việc song ngữ Việt-Anh là lợi thế nếu bạn học chương trình có tài liệu tiếng Anh, nhưng nếu bạn chỉ cần tiếng Việt thì đây không phải điểm quyết định.

Thông tin mua hàng, để bạn khỏi phải đoán: giá 118.000đ, thanh toán bằng chuyển khoản trong nước, và file được gửi trong vòng 24h. Trước khi trả tiền, bạn xem được 5 trang đầu miễn phí. Hãy dùng 5 trang đó để thử một việc cụ thể: đọc cách tài liệu trình bày một khái niệm bạn đang vướng, rồi tự hỏi mình có theo nổi nhịp giải thích đó không. Nếu nhịp ấy hợp, tài liệu đáng giá. Nếu không, bạn tiết kiệm được 118.000đ.

Nếu muốn xem thử 5 trang đầu hoặc đặt mua, bạn vào trang sản phẩm tại đây: Đề cương ôn tập Toán cao cấp F1 — Giải tích hàm một biến — Việt/Anh.