Ôn thi giải tích nhiều biến: học gì trước, sai ở đâu

Giải tích một biến có một điểm dễ chịu: mọi thứ nằm trên một đường thẳng. Điểm tiến tới a chỉ có hai phía. Đạo hàm là một con số. Tích phân là diện tích dưới một đường cong. Sang Toán cao cấp F3 thì cái dễ chịu đó biến mất. Điểm (x, y) tiến tới (0, 0) được theo vô số hướng, đạo hàm thành một vectơ, tích phân thành thể tích rồi thành thông lượng qua một mặt cong.

Bài này viết cho người đang ôn thi giải tích nhiều biến mà chưa học môn này bao giờ, hoặc học rồi nhưng mới gật gù theo thầy chứ chưa tự làm được bài. Phần đầu nói về thứ tự học và những chỗ hay mất điểm, có tính tay từng con số. Tài liệu nằm ở gần cuối, đọc hay bỏ qua tùy bạn.

Vì sao "thêm một chữ y" là chưa đủ

Nhiều bạn vào môn với suy nghĩ: một biến mình làm được rồi, hai biến chỉ là thêm chữ y. Nghĩ vậy đến tuần thứ ba là hụt hơi.

Lấy giới hạn làm ví dụ. Cho f(x, y) = xy / (x² + y²), hỏi giới hạn khi (x, y) → (0, 0). Đi dọc trục x (y = 0) thì f = 0 ở mọi điểm. Đi dọc đường y = x thì f = x² / 2x² = 1/2. Hai hướng ra hai con số, nên giới hạn không tồn tại. Ở một biến không có chuyện này. Muốn chứng minh giới hạn không tồn tại thì chỉ cần tìm hai đường cho hai kết quả khác nhau. Nhưng muốn chứng minh nó có tồn tại thì phải làm khác hẳn, thường là đánh giá bằng bất đẳng thức hoặc đổi sang tọa độ cực. Đề thi rất thích hai kiểu này.

Thay đổi thứ hai là hình học. Từ chương 2 trở đi bạn phải hình dung được mặt z = x² + y² là một cái chén, cắt bằng mặt phẳng z = 4 thì ra đường tròn bán kính 2. Không hình dung được thì tích phân bội sẽ không đặt nổi cận. Người ta hay đổ cho "tính toán kém", thực ra nhiều khi chỉ là chưa vẽ được miền lấy tích phân.

Thay đổi thứ ba khó chịu nhất: các chương xếp chồng lên nhau. Bỏ qua phương trình mặt phẳng ở chương 2 thì mặt phẳng tiếp xúc ở chương 4 không có chỗ bám. Bỏ gradient thì Lagrange chỉ còn là thuộc công thức. Bỏ tích phân kép thì định lý Green chỉ là một đẳng thức lạ hoắc. Môn này không cho học tủ từng chương đứng riêng.

Thứ tự học và một lịch giả định 6 tuần

Giả sử còn sáu tuần tới kỳ thi, mỗi tuần dành được khoảng 6–8 giờ ngoài giờ lên lớp. Con số này chỉ để minh họa, bạn co giãn theo lịch của mình.

Tổng cộng khoảng 44 giờ. Tuần 3 và 4 nặng về tính toán, tuần 5 là lúc mọi thứ gặp nhau, nên đừng dồn chương 8 và 9 vào đêm trước ngày thi. Hai chương này dài, nhiều ký hiệu, và đọc lần đầu thì gần như ai cũng thấy rối.

Nếu chỉ còn ba tuần thì phải cắt, và cắt có tính toán. Chương 2, 4, 5, 6, 7 nên giữ nguyên vì mọi thứ sau đó dựa vào chúng. Chương 3 (độ cong, chuyển động) và phần đường conic trong chương 1 có thể đọc lướt hơn. Nhưng cắt chỗ nào còn tùy đề cương môn của trường bạn, mỗi nơi ra đề một kiểu. Cách chắc nhất là xem đề các năm trước, hoặc hỏi anh chị khóa trên.

Những chỗ hay mất điểm khi tính tay

Đạo hàm riêng và mặt phẳng tiếp xúc

Cho f(x, y) = x²y + 3xy², tìm mặt phẳng tiếp xúc tại (1, 2).

Đạo hàm theo x, coi y là hằng: f_x = 2xy + 3y². Tại (1, 2) được 4 + 12 = 16. Đạo hàm theo y: f_y = x² + 6xy, tại (1, 2) được 1 + 12 = 13. Giá trị hàm f(1, 2) = 2 + 12 = 14. Mặt phẳng: z = 14 + 16(x − 1) + 13(y − 2) = 16x + 13y − 28. Thử lại bằng cách thế (1, 2): 16 + 26 − 28 = 14. Khớp.

Lỗi hay gặp nhất là thế số (1, 2) vào f trước khi đạo hàm. Lúc đó f thành hằng số 14 và đạo hàm ra 0, mặt phẳng tiếp xúc thành z = 14, vẽ lên thì phẳng lì. Lỗi thứ hai là lẫn f_x với f_y khi chép vào công thức cuối. Mất 10 giây để thử lại bằng cách thế điểm gốc, và bài nào cũng nên làm bước đó.

Cực trị có ràng buộc

Trước đó một câu về gradient: với f = x² + y² + z² tại (1, 2, 2), gradient là (2, 4, 4), độ dài 6. Hàm tăng nhanh nhất theo hướng (2, 4, 4), với tốc độ 6. Lagrange chỉ là hệ quả của ý này: tại điểm cực trị trên đường ràng buộc, gradient của f song song với gradient của ràng buộc.

Bài mẫu: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f = xy trên đường tròn x² + y² = 8. Hệ phương trình là y = 2λx và x = 2λy. Nhân chéo ra xy = 2λx² = 2λy², suy ra x² = y², tức x = ±y. Thay vào ràng buộc được x² = 4. Có bốn điểm: (2, 2) và (−2, −2) cho f = 4; (2, −2) và (−2, 2) cho f = −4. Lớn nhất 4, nhỏ nhất −4.

Sinh viên mất điểm ở đâu? Thường là chỉ lấy x = y rồi dừng, bỏ nghiệm âm, nên không tìm ra giá trị nhỏ nhất. Hoặc chia hai vế cho x mà quên xét trường hợp x = 0. Ở bài này x = 0 kéo theo y = 0, không thỏa x² + y² = 8, nên loại được, nhưng phải viết ra là đã loại.

Tích phân bội và quên Jacobian

Tính ∬ (x² + y²) dA trên hình tròn bán kính 2. Đổi sang tọa độ cực: x² + y² = r², dA = r dr dθ. Tích phân thành ∫₀^{2π} ∫₀² r² · r dr dθ = 2π · (2⁴/4) = 2π · 4 = 8π, khoảng 25,13.

Quên chữ r của dA là lỗi kinh điển. Khi đó phần trong thành ∫₀² r² dr = 8/3, kết quả 16π/3, khoảng 16,76. Con số ra vẫn trông hợp lý, không có gì báo là sai, nên lỗi này rất dễ lọt qua khi soát lại bài.

Sang tích phân bội ba, thể tích hình cầu bán kính 2 trong tọa độ cầu: ∫₀^{2π} dθ · ∫₀^π sin φ dφ · ∫₀² ρ² dρ = 2π · 2 · 8/3 = 32π/3. Nhân tố ρ² sin φ là cái bạn phải thuộc, đừng đợi đến lúc thi mới nhớ.

Trường vectơ: Green, Stokes, Gauss

Ba định lý này cùng một ý: tích phân trên biên bằng tích phân bên trong. Green nói về đường cong kín trong mặt phẳng, Stokes nói về mặt cong và đường biên của nó, Gauss nói về khối và mặt bao quanh nó. Đừng học như ba công thức rời.

Ví dụ nhỏ cho Green: tính ∮ (−y dx + x dy) trên đường tròn đơn vị, ngược chiều kim đồng hồ. Theo Green, tích phân bằng ∬ (1 − (−1)) dA = 2 · diện tích = 2π. Tính trực tiếp: x = cos t, y = sin t thì −y dx + x dy = sin²t + cos²t = 1 dt, lấy từ 0 đến 2π cũng ra 2π. Hai cách khớp nhau. Nếu đề cho chiều cùng chiều kim đồng hồ thì kết quả đổi dấu thành −2π, và đây là chỗ nhiều người chép nhầm.

Cho Gauss: trường F = (x, y, z) qua mặt cầu bán kính 2, hướng ra ngoài. div F = 3, thể tích 32π/3, nên thông lượng = 3 · 32π/3 = 32π. Kiểm tra bằng mặt: trên mặt cầu, F · n = 4/2 = 2 mọi nơi, diện tích 4π · 4 = 16π, thông lượng 2 · 16π = 32π. Lại khớp. Thói quen kiểm bằng cách thứ hai khi có thời gian sẽ cứu bạn nhiều lần.

Chỗ hay sai nhất ở hai chương này là hướng của vectơ pháp tuyến. Với Gauss, mặt kín phải lấy pháp tuyến hướng ra ngoài. Với Stokes, chiều đi trên đường biên phải khớp với pháp tuyến của mặt theo quy tắc bàn tay phải. Lấy ngược một trong hai là kết quả đổi dấu. Phần này không có đường tắt, chỉ có làm tay nhiều bài.

Phương trình vi phân cấp hai: chương nhẹ nhưng hay bị bỏ

Chương 10 thường nằm cuối đề cương nên hay bị dồn vào ngày cuối. Nó nhẹ hơn các chương trước, nhưng mất điểm vì sai vặt.

Với y″ − 5y′ + 6y = 0, phương trình đặc trưng r² − 5r + 6 = 0 cho r = 2 và r = 3, nghiệm y = C₁e^{2x} + C₂e^{3x}. Với y″ − 4y′ + 4y = 0, nghiệm kép r = 2 cho y = (C₁ + C₂x)e^{2x}. Viết hai số hạng e^{2x} giống nhau là lỗi phổ biến. Với y″ + 4y = 0, r = ±2i cho y = C₁cos 2x + C₂sin 2x. Ba trường hợp, ba dạng nghiệm, học thuộc trong một buổi là đủ.

Một buổi ôn 3 giờ nên làm gì

Một buổi 180 phút, mình chia thế này. 20 phút đầu đọc lại định nghĩa và công thức của một chương, không làm bài vội. 90 phút kế tiếp tự làm bài trên giấy, không nhìn lời giải. 40 phút sau chấm bài, tìm đúng dòng mà mình sai. 30 phút cuối ghi lại lỗi vào một trang riêng, mỗi lỗi một dòng, kèm cách sửa.

Trang lỗi đó quan trọng hơn bạn nghĩ. Khi ôn thi giải tích nhiều biến, hầu hết điểm mất không đến từ chỗ không biết, mà từ cùng vài lỗi lặp lại: quên Jacobian, bỏ nghiệm âm, sai chiều đường cong. Đọc trang lỗi trước giờ vào phòng thi hiệu quả hơn đọc lại cả chương.

Tài liệu 332 trang: dùng vào đâu, không dùng vào đâu

Nếu bạn muốn có một bộ khung sẵn thay vì tự gom, thì đề cương Toán cao cấp F3 – Giải tích nhiều biến trên tailieuso.vin là tài liệu PDF song ngữ Việt – Anh dài 332 trang. Nó dành cho sinh viên đại học chưa học giải tích nhiều biến, cần hiểu bài để thi học phần và dùng được trong các môn kỹ thuật sau này.

Mười chương đi đúng thứ tự như trong lịch ở trên: đường cong tham số, tọa độ cực và các đường conic; vectơ, đường thẳng và mặt trong không gian; hàm vectơ, độ cong và chuyển động; hàm nhiều biến với giới hạn, đạo hàm riêng, mặt phẳng tiếp xúc; quy tắc dây chuyền, gradient, cực trị và Lagrange; tích phân kép và ứng dụng; tích phân bội ba và phép đổi biến; trường vectơ, tích phân đường và định lý Green; tích phân mặt cùng các định lý Stokes, Gauss; và phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. Nội dung trình bày song song tiếng Việt và tiếng Anh.

Giờ đến những điều không nên kỳ vọng. Đây là đề cương ôn tập, không phải giáo trình của trường và không thay được giáo trình đó. Không có bài giảng video, nên chỗ nào bạn cần nghe ai đó giảng thì vẫn phải hỏi thầy cô hoặc bạn học. Đề thi của trường bạn có thể nhấn vào chương khác với thứ tự trong tài liệu, nên hãy đối chiếu với đề cương môn của trường. Song ngữ cũng có hai mặt: nếu bạn chỉ thi bằng tiếng Việt thì nửa tiếng Anh là phần đọc thêm; còn nếu sau này đọc giáo trình kỹ thuật bằng tiếng Anh, quen sớm các thuật ngữ như gradient, flux, curl sẽ đỡ ngợp. Và 332 trang không phải thứ đọc hết trong một đêm.

Về chi phí: giá 116.000đ, chia ra khoảng 350 đồng một trang. Thanh toán bằng chuyển khoản trong nước, và file được gửi trong vòng 24 giờ, nên đừng mua vào đêm trước ngày thi. Trước khi mua, bạn xem được 5 trang xem trước miễn phí để biết cách trình bày có hợp mắt mình không. Nếu 5 trang đó đọc thấy khó theo, tốt hơn là biết trước khi chuyển tiền.

Xem thử trước khi quyết định

Còn sáu tuần hay còn ba tuần, việc đầu tiên vẫn là biết mình đang đứng ở chương nào. Bạn có thể xem tài liệu và 5 trang xem trước tại đây, đối chiếu mục lục với đề cương của trường rồi tự quyết định.